Τοποθετούμε μια βαθιά κατσαρόλα σε μέτρια προς δυνατή φωτιά, ρίχνουμε το βούτυρο και ανακατεύουμε με ένα σύρμα χειρός, μέχρι να λιώσει.
Μόλις λιώσει, προσθέτουμε το αλεύρι ανακατεύοντας συνεχώς, ώστε να μην κολλήσει στην κατσαρόλα κι έπειτα, ρίχνουμε σιγά σιγά το γάλα συνεχίζοντας το ανακάτεμα με το σύρμα χειρός, για να μην κάνει σβόλους η μπεσαμέλ.
Αφού δέσει, αποσύρουμε την κατσαρόλα από τη φωτιά, ρίχνουμε το τυρί, την κέτσαπ και ανακατεύουμε απαλά με μια ξύλινη κουτάλα.
Κατόπιν, προσθέτουμε λίγο ελαιόλαδο σε ένα τηγάνι, το τοποθετούμε σε δυνατή φωτιά και το αφήνουμε να ζεσταθεί. Όταν ζεσταθεί, προσθέτουμε το σκόρδο, τις γαρίδες, το καρότο και σοτάρουμε για 1-2 λεπτά, μέχρι να πάρουν χρώμα οι γαρίδες.
Μόλις είναι έτοιμα, αποσύρουμε από τη φωτιά το μείγμα, το αφήνουμε να κρυώσει κι έπειτα, το προσθέτουμε στην μπεσαμέλ που φτιάξαμε νωρίτερα, αλατοπιπερώνουμε, ανακατεύουμε ελαφρώς με ένα κουτάλι και αφήνουμε τη γέμιση στην άκρη.
Στη συνέχεια, απλώνουμε ένα φύλλο στον πάγκο εργασίας με τη μικρότερη πλευρά να κοιτάει προς το μέρος μας. Πασπαλίζουμε το φύλλο με λίγο ηλιέλαιο, το διπλώνουμε στη μέση και με ένα κοφτερό μαχαίρι τα κόβουμε σε τρία οριζόντια κομμάτια. Πασπαλίζουμε εκ νέου κάθε κομμάτι με λίγο ακόμα ηλιέλαιο, προσθέτουμε 1-1 ½ κ.γ. από τη γέμιση στο κάτω μέρος του κάθε κομματιού, διπλώνουμε τις δύο άκρες ελαφρώς προς τα μέσα και ρολάρουμε.
Επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία και για τα υπόλοιπα φύλλα, μέχρι να τελειώσει η γέμιση.
Έπειτα, σε ένα τηγάνι ρίχνουμε λίγο ηλιέλαιο, την τοποθετούμε σε δυνατή φωτιά και αφήνουμε να ζεσταθεί.
Τέλος, τηγανίζουμε σε δόσεις τα ρολάκια, μέχρι να πάρουν ωραίο χρυσαφί χρώμα. Μόλις είναι έτοιμα, τα αφαιρούμε από την κατσαρόλα και τα μεταφέρουμε σε ένα πιάτο, που έχουμε στρώσει απορροφητικό χαρτί.
Για την chilli mayo: Προσθέτουμε τη μαγιονέζα και την sweet & chili sauce σε ένα μπολάκι και ανακατεύουμε με ένα κουτάλι, μέχρι να ομογενοποιηθούν.
Σερβίρουμε τα ρολάκια γαρίδας με την chilli mayo.