Για τη ζύμη: Στον κάδο του μίξερ ρίχνουμε το αλεύρι, το αλάτι, ανακατεύουμε με ένα κουτάλι κι έπειτα, προσθέτουμε το βούτυρο και ανακατεύουμε με το γάντζο σε χαμηλή ταχύτητα για περίπου 1 λεπτό.
Κατόπιν, σε ένα μεγάλο μπολ αδειάζουμε το νερό, το γάλα, τη ζάχαρη, τη μαγιά και ανακατεύουμε με ένα σύρμα χειρός, μέχρι να διαλυθεί η μαγιά. Ύστερα, αδειάζουμε το μείγμα από το μπολ στη ζύμη και συνεχίζουμε το χτύπημα σε χαμηλή ταχύτητα για 4 λεπτά. Ανεβάζουμε την ταχύτητα στο μέτριο και ζυμώνουμε για 2-3 λεπτά, μέχρι να δημιουργηθεί μια λεία ζύμη.
Μόλις είναι έτοιμη, μεταφέρουμε τη ζύμη σε ένα λαδωμένο μπολ, τη σκεπάζουμε με μια μεμβράνη και την αφήνουμε να φουσκώσει για 1 ώρα και 30 λεπτά.
Για τον κιμά: Παράλληλα, τοποθετούμε μια μικρή κατσαρόλα σε μέτρια προς δυνατή φωτιά, προσθέτουμε λίγο ελαιόλαδο, το κρεμμύδι, το σέλερι και σοτάρουμε για 2 λεπτά, μέχρι να καραμελώσουν.
Έπειτα, ρίχνουμε τον κιμά και τον σοτάρουμε, μέχρι να ασπρίσει. Όταν ασπρίσει, προσθέτουμε τον πελτέ ντομάτας, ανακατεύουμε με μία ξύλινη κουτάλα κι αμέσως μετά, σβήνουμε με το κρασί περιμένοντας να εξατμιστεί τελείως το αλκοόλ.
Αφού εξατμιστεί, ρίχνουμε ντομάτα κονκασέ, αλατοπιπερώνουμε, ανακατεύουμε εκ νέου, χαμηλώνουμε τη φωτιά και σιγομαγειρεύουμε για 25-30 λεπτά, μέχρι να δέσει η σάλτσα. Όταν είναι έτοιμος, αφήνουμε τον κιμά στην άκρη να κρυώσει καλά.
Για τη μελιτζάνα: Απλώνουμε τις μελιτζάνες σε ένα ταψί του φούρνου και τις ψήνουμε σε προθερμασμένο φούρνο στους 200°C στον αέρα για 25 λεπτά, μέχρι να μαλακώσουν. Μόλις ετοιμαστούν, τις ξεφλουδίζουμε και πιέζουμε τη σάρκα τους με ένα πιρούνι, ώστε να δημιουργηθεί ένας πουρές και τις αφήνουμε στην άκρη να κρυώσουν.
Σύνθεση: Μετά τη 1,5 ώρα, χωρίζουμε τη ζύμη σε 6 ίσα μέρη και σε αλευρωμένη επιφάνεια εργασίας ανοίγουμε κάθε ζυμάρι με τη βοήθεια ενός πλάστη σε οβάλ σχήμα πάχους περίπου 2-3 χιλ. κι αμέσως μετά, μεταφέρουμε κάθε ζυμάρι προσεκτικά σε ένα ταψί του φούρνου, που έχουμε στρώσει λαδόκολλα κι έπειτα, τραβάμε απαλά τις άκρες του ζυμαριού, ώστε να τις μακρύνουμε ελαφρώς.
Ύστερα, απλώνουμε πάνω από κάθε ζυμάρι λίγο από τον πουρέ μελιτζάνας, 4-5 κ.σ. κιμά, πασπαλίζουμε με κασέρι προσέχοντας να αφήσουμε 2,5 εκ. κενό από τις άκρες. Γυρίζουμε τη ζύμη που περίσσεψε στα πλάγια πάνω από τη γέμιση, ώστε να δημιουργηθεί μια φωλιά πιέζοντας τις άκρες για να κολλήσουν.
Τέλος, καλύπτουμε τα πεϊνιρλί με μεμβράνη και τα αφήνουμε να φουσκώσουν για 30 λεπτά.
Μετά τα 30 λεπτά, αλείφουμε τα πεϊνιρλί με τον αραιωμένο κρόκο και τα ψήνουμε σε προθερμασμένο φούρνο στους 190°C στις αντιστάσεις πάνω κάτω για 30-35 λεπτά, μέχρι να χρυσαφίσουν.
Όταν είναι έτοιμα, σερβίρουμε τα πεϊνιρλί ζεστά.