Προθερμαίνουμε τον φούρνο στους 180°C, στον αέρα.
Ζεσταίνουμε μια κατσαρόλα σε μέτρια προς δυνατή φωτιά, ρίχνουμε το νερό, τη ζάχαρη, τα στικ κανέλας και τις φλούδες πορτοκαλιού, και μόλις πάρει μια βράση, αφήνουμε να σιγοβράσει για επιπλέον 4-5 λεπτά.
Μόλις διαλυθεί η ζάχαρη, αποσύρουμε την κατσαρόλα από τη φωτιά και προσθέτουμε το μέλι, ανακατεύουμε με ένα κουτάλι και αφήνουμε το σιρόπι στην άκρη, μέχρι να κρυώσει καλά.
Σε ένα μεγάλο μπολ ρίχνουμε το ελαιόλαδο, το ηλιέλαιο, το κονιάκ, το χυμό πορτοκαλιού, το ξύσμα πορτοκαλιού, τη ζάχαρη και ανακατεύουμε καλά με ένα σύρμα χειρός.
Σε ένα άλλο μπολ αδειάζουμε το αλεύρι, το μπέϊκιν πάουντερ, τη μαγειρική σόδα, το γαρύφαλλο, την κανέλα και ανακατεύουμε με ένα κουτάλι.
Προσθέτουμε σιγά σιγά το μείγμα με τα υγρά στο μπολ με τα στερεά και, φορώντας γάντια μιας χρήσης, ανακατεύουμε με τα χέρια, μέχρι να ομογενοποιηθεί το μείγμα. Προσέχουμε να μην ανακατέψουμε πάρα πολύ και βγάλει το μείγμα το λάδι, γιατί τα μελομακάρονα δε θα είναι τραγανά.
Πλάθουμε το μείγμα σε μπαλάκια βάρους 30 γρ., τα ανοίγουμε ελαφρώς και προσθέτουμε 5γρ. πουρέ κάστανο. Κλείνουμε πάλι το ζυμάρι και το πλάθουμε απαλά σε σχήμα οβάλ και τα τοποθετούμε σε ένα ταψί του φούρνου που έχουμε στρώσει με λαδόκολλα.
Με ένα πιρούνι, δημιουργούμε μικρές τρυπούλες στην πάνω πλευρά από το κάθε μελομακάρονο, για να ψηθούν πιο γρήγορα και για να απορροφήσουν πιο γρήγορα το σιρόπι.
Ψήνουμε για 20 με 25 λεπτά.
Βγάζουμε τα μελομακάρονα από τον φούρνο, τα ρίχνουμε έτσι όπως είναι καυτά μέσα στο κρύο σιρόπι και τα αφήνουμε να μουλιάσουν για 10 δευτερόλεπτα.
Αφαιρούμε τα μελομακάρονα από το σιρόπι με μία τρυπητή κουτάλα και τα μεταφέρουμε σε μια πιατέλα σερβιρίσματος.
Πασπαλίζουμε τα μελομακάρονα με τριμμένα καρύδια και τα αφήνουμε να κρυώσουν καλά πριν τα σερβίρουμε.